Tout quadrilatère pave le plan

Cet exercice a pour objectif de démontrer et d'illustrer le résultat très général et puissant suivant.

Théorème
Tout quadrilatère pave le plan.

Partie A : conjecture

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant, on a représenté un quadrilatère \(\text{ABCD}\) et le pavage obtenu par symétrie et translations.
1. En déformant le quadrilatère \(\text{ABCD}\), sans croiser les côtés, observer la façon dont change le pavage. Observer, notamment, les pavages par un quadrilatère convexe et par un quadrilatère non convexe.
2. Conjecturer alors une propriété des pavages par quadrilatères.
3. Existe-t-il une maille polygonale qui permet de paver le plan par seules translations ? Le pavage est-il périodique ?

Partie B : démonstration

On veut démontrer la conjecture émise dans la partie A. Autrement dit, on veut démontrer le théorème suivant.

Théorème
Tout quadrilatère permet de réaliser un pavage périodique du plan.

Dans la figure suivante on voit, en rouge, le quadrilatère \(\text{ABCD }\)et, en vert, jaune et bleu, trois images de \(\text{ABCD}\) par des transformations du plan telles que :

• le sommet \(\text{C}\) est commun aux quatre quadrilatères ;
  
• chaque quadrilatère partage un côté avec chacun des quadrilatères à côté.
  

1. Donner des transformations du plan qui permettent d'obtenir les quadrilatères vert, jaune et bleu à partir de \(\text{ABCD}\).
2. Conclure quant au pavage du plan par tout quadrilatère.
3. Considérons la réunion du parallélogramme rouge et du parallélogramme vert. Démontrer que les côtés opposés de cette maille sont parallèles.
4. Indiquer deux translations qui permettent de paver le plan à partir de cette maille. Conclure que ce pavage est périodique.
5. Répondre aux mêmes questions avec la maille formée par le parallélogramme rouge et le parallélogramme jaune.
7. En déduire une condition suffisante pour qu'un quadrilatère convexe permette de paver le plan.